등차수열과 등비수열 합에서 일반항 빨리 구하는 방법

 

 

등차수열과 등비수열의 합에서 일반항 구하기

안녕하세요, 수학을 사랑하는 여러분! 오늘은 수학1에서 중요한 개념 중 하나인 등차수열과 등비수열의 합에서 일반항을 빠르게 구하는 방법에 대해 설명해드리려고 합니다. 이 주제는 고등학생들에게 특히 중요한데요, 수능 대비나 학교 시험 준비에 큰 도움이 될 것입니다. 자, 그럼 시작해볼까요?

 

 

등차수열의 일반항 구하기

등차수열은 일정한 차이(d)를 가지며 증가하거나 감소하는 수열을 말합니다. 예를 들어, 1, 3, 5, 7, ... 같은 수열이 있죠. 등차수열의 합 S_n에서 일반항 a_n을 구하는 방법을 알아보겠습니다.

 

 

등차수열

 

 

등차수열의 합 공식

우선, 등차수열의 합 공식은 다음과 같습니다:

S_n = \(\frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\)

여기서 a₁은 첫째 항, a_n은 n번째 항입니다. 이를 이용하여 일반항을 구할 수 있습니다.

일반항 구하는 방법

1. 합에서 합 빼기S_n에서 S_n-1을 빼면, n번째 항인 a_n을 구할 수 있습니다.S_n-1 = (n-1)² + 3(n-1)S_n - S_n-1 = [n² + 3n] - [(n-1)² + 3(n-1)] = 2n + 1
2. 따라서, a_n = 2n + 1이 됩니다.
3. 이를 전개하고 S_n - S_n-1을 계산하면,
4. 예를 들어, S_n = n² + 3n이라면,
5. 첫째 항 성립 여부 확인일반항이 첫째 항부터 성립하는지 확인하기 위해 n = 1을 대입해봅니다.만약 다르다면, 두 번째 항부터 성립한다고 볼 수 있습니다.
6. 합 S_n에 n = 1을 넣어서 계산한 값이 a₁과 같으면 첫째 항부터 성립합니다.
7. 0 대입하여 확인하기더 빠르게 확인하는 방법으로는 n = 0을 대입하여 0이 나오는지 확인하는 것입니다.
8. S₀이 0이 된다면, 첫째 항부터 성립합니다. 그렇지 않다면 두 번째 항부터 성립한다고 판단할 수 있습니다.

등비수열의 일반항 구하기

등비수열은 일정한 비율(r)을 가지며 증가하거나 감소하는 수열입니다. 예를 들어, 2, 4, 8, 16, ... 같은 수열이 있습니다. 등비수열의 합 S_n에서 일반항 a_n을 구하는 방법을 살펴보겠습니다.

 

 

등비수열

 

 

등비수열의 합 공식

등비수열의 합 공식은 다음과 같습니다:

S_n = a \cdot \(\frac{1-r^n}{1-r}\)

여기서 a는 첫째 항, r은 공비입니다.

일반항 구하는 방법

1. 합에서 합 빼기등차수열과 마찬가지로, S_n에서 S_n-1을 빼면 n번째 항인 a_n을 구할 수 있습니다.S_n-1 = a \cdot \(\frac{1-r^{n-1}}{1-r}\)S_n - S_n-1 = a_n
2. 이를 빼면,
3. 예를 들어, S_n = a \cdot \(\frac{1-r^n}{1-r}\)이라면,
4. 첫째 항 성립 여부 확인일반항이 첫째 항부터 성립하는지 확인하기 위해 n = 1을 대입해봅니다.만약 다르다면, 두 번째 항부터 성립한다고 볼 수 있습니다.
5. 합 S_n에 n = 1을 넣어서 계산한 값이 a₁과 같으면 첫째 항부터 성립합니다.
6. 0 대입하여 확인하기등차수열과 마찬가지로 n = 0을 대입하여 0이 나오는지 확인하는 방법이 있습니다.
7. S₀이 0이 된다면 첫째 항부터 성립하고, 그렇지 않다면 두 번째 항부터 성립한다고 판단할 수 있습니다.

요약

오늘은 등차수열과 등비수열의 합에서 일반항을 빠르게 구하는 방법에 대해 설명드렸습니다. 요약하자면:

• 등차수열의 일반항은 S_n - S_n-1을 통해 구할 수 있으며, 첫째 항 성립 여부는 n = 1 또는 n = 0을 대입해 확인할 수 있습니다.
• 등비수열의 일반항도 S_n - S_n-1을 통해 구할 수 있으며, 첫째 항 성립 여부는 n = 1 또는 n = 0을 대입해 확인할 수 있습니다.

이 방법을 통해 여러분도 수학 문제를 더 빠르고 효율적으로 풀 수 있을 것입니다. 앞으로도 계속해서 수학 공부를 열심히 하시길 바라며, 더 궁금한 점이 있다면 언제든지 질문해주세요! 감사합니다.