세 점을 알 때 삼각형의 넓이 - 신발끈 공식 증명

세 점을 알 때 삼각형의 넓이 - 신발끈 공식 증명

수학상에서 평면좌표를 배우고 직선의 방정식 진도를 나갑니다. 그리고 점과 직선사이의 거리 공식을 배우게 됩니다. 그다음 삼각형 넓이를 구하게 합니다. 거기서 세 점이 주어지고 넓이를 구하게 하죠.

세 점이 주어질때 삼각형 넓이 출제 의도는 점과 점사이의 거리를 이용해서 한변의 길이를 구하고 직선의 방정식을 세우고 나머지 점을 점과 직선사이의 거리를 구하여 높이를 구합니다. 그리고 밑변 곱하기 높이 나누기 2를 이용해서 삼각형의 넓이를 구합니다.

이 문제를 풀면 앞에서 배웠던 점과 점사이의 거리, 직선 방정식, 점과 직선사이의 거리를 사용하게 됩니다. 그래서 나오는 문제지만 세개나 써야하니까 상당히 오래 걸립니다.

그래서 나오는게 신발끈 공식 입니다. 그 공식도 위에 방법을 써보면 공식을 증명 할 수 있습니다. 삼각형 넓이 공식 중에 세점을 알때는 신발끈 공식을 사용하는 것이 제일 좋습니다. 그리고 세변을 알때는 헤론의 공식을 쓰는 것이 제일 빠르고요. 그외에는 삼각함수의 활용을 배우고 사인법칙 코사인 법칙 구해서 삼각형 넓이를 구하기도 합니다.

일단 세 점을 알때 삼각형의 넓이를 구하는 공식입니다. 보기에 신발끈처럼 사선으로 곱해 주면서 계산을 하면 됩니다.​

사선으로 하는 것은 예전에 행렬 할때 나왔는데 지금은 안나오니까 공식을 외워주시면 됩니다. 이제 밑에는 세 점을 알 때 삼각형 넓이 구하는 공식을 증명한 것 입니다.

세 점을 알 때 삼각형의 넓이 증명을 중학교 방법과 고1에 수학상 방법, 그리고 기하에 벡터 방법으로 보였습니다. 중학교 방법이 오히려 간단하네요.​​

먼저 세 점을 알 때 삼각형의 넓이 공식 증명 중에서 중학교 방법으로 증명 하는 것입니다. 중1때 순서쌍과 좌표에서 어려운 문제에 가끔 나오는 유형입니다. 그것을 x,y 좌표로 둔 후 넓이를 구하는 것입니다.


직사각형 넓이를 먼저 구한 후에 직각삼각형 넓이 세개를 빼주면 됩니다.​​
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두번째 세 점을 알 때 삼각형의 넓이 구하는 신발끈 공식 증명으로는 고등학교 1학년에 수학 상 방법입니다.

아까 문제 풀때 말한 방법입니다. 점과 점 사이의 거리를 이용해서 밑변의 길이를 구해주고요. 점과 직선 사이의 길이를 구하기 위해 직선의 방정식을 구해서 점과 직선 사이의 거리를 구해줍니다. 그게 높이가 됩니다. 그 다음 삼각형 넓이 구하는 공식을 이용해서 계산 하면 답이 나옵니다.

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이 증명 방법을 보시면 원래 고1때 이 문제를 낸 출제 의도가 이렇게 풀라고 해서 나온 유형입니다. 그러면 대단원 3단원에 모든 내용을 다 사용할 수 있기 때문에 이 문제 유형이 나오는것 같습니다. 점과 점사이의 거리 공식도 쓰고요. 직선 방정식을 구해야 하고요. 점과 직선 사이의 거리 공식도 구해야 합니다. ​​
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마지막 신발끈 공식 증명은 기하 방법입니다. 기하는 이제 선택 과목이기 때문에 안 배우는 학생이 많죠. 수학영역 선택과목 중에 확률과통계, 미적분의 비율이 높습니다. 기하는 내적할때 코사인이 나오는 것을 이용해서 삼각형의 넓이를 구해주는 것입니다. 신발끈 공식 증명도 비슷합니다. 증명이라기 보다는 공식 유도에 가깝네요.

코사인 사인 법칙을 이용해서도 하려했는데 식이 너무 길어서 그냥 여기까지만 증명했습니다. 가끔 삼각형의 넓이 공식 증명을 올리는 것 같네요. 저번이 가르치는 학생들이 있는 학교에서 수행평가로 다양한 방법으로 세점 주어질때 삼각형 넓이를 구하기도 나왔더군요. 오늘은 신발끈 공식을 이용한 삼각형의 넓이를 구하고 공식을 증명 해봤습니다.