삼각함수: 2022 개정 교육과정에 따른 개념 정리

삼각함수: 2022 개정 교육과정에 따른 개념 정리

안녕하세요, 수학입시쌤입니다. 오늘은 내년 고1부터 적용될 2022 개정 교육과정을 대비해 삼각함수 단원을 정리해 보겠습니다. 삼각함수는 많은 학생들이 어려워하는 단원이지만, 기본 개념을 꼼꼼히 익히면 충분히 극복할 수 있습니다. 이번 포스팅에서는 삼각함수의 주요 개념인 일반각, 호도법, 삼각함수의 뜻을 차근차근 살펴보겠습니다.

1. 일반각

삼각함수의 시작은 '각'에 대한 이해입니다. 각은 두 반직선이 이루는 크기를 나타내며, 이를 시각적으로 이해하는 것이 중요합니다.

일반각과 호도법

- 시초선과 동경: 각을 이루는 한 반직선을 고정된 반직선이라고 하며, 이를 시초선이라 부릅니다. 나머지 반직선은 동경이라 하며, 동경의 위치에 따라 각의 크기가 결정됩니다.

- 일반각의 표현: 하나의 동경은 여러 개의 각을 나타낼 수 있습니다. 이때 일반각의 표현을 사용해

- 동경의 위치 관계: 두 동경의 위치에 따라 다양한 관계가 나타납니다. 예를 들어, 두 동경이 일치하면 각의 차이는 360˚ n 됩니다. 이처럼 동경 간의 관계를 이해하는 것은 삼각함수의 기초를 다지는 데 매우 중요합니다. 단순 암기보다는 그림을 통해 이해하는 것이 효율적입니다.

2. 호도법

삼각함수에서 각을 실수 형태로 표현하기 위해 사용하는 방법이 호도법입니다. 이는 각을 라디안(radian) 단위로 나타내는 방식으로, 삼각함수 계산에서 중요한 역할을 합니다.

- 호의 길이와 라디안: 호도법에서는 호의 길이와 반지름의 길이가 같을 때, 이를 1라디안으로 정의합니다. 예를 들어, 호의 길이가 반지름의 두 배라면 이는 2라디안으로 표현됩니다.

- 각도와 라디안의 변환: 180˚는 파이 라디안으로 표현됩니다. 기존의 육십분법을 호도법으로 변환하려면 각도에 (파이/180)을 곱하면 됩니다. 반대로 호도법을 육십분법으로 변환하려면 라디안에 (180/pi)를 곱하면 됩니다.

3. 부채꼴의 호의 길이와 넓이

삼각함수의 중요한 응용 중 하나는 부채꼴에 관한 문제입니다.

호의 길이와 넓이

- 호의 길이: 부채꼴의 호의 길이는 반지름과 중심각을 곱하여 구합니다. 이때 중심각은 반드시 라디안 단위로 표현되어야 합니다.

- 부채꼴의 넓이: 부채꼴의 넓이를 구하는 공식은 여러 가지가 있지만, 문제에서 둘레가 일정할 때 넓이의 최댓값을 구하는 경우 이차함수를 이용할 수 있습니다. 넓이가 일정할 때 둘레의 최솟값을 구하는 문제에서는 산술평균과 기하평균의 관계를 활용합니다.

4. 삼각함수의 뜻

삼각함수의 본질은 원을 그리고, 동경과 원이 만나는 점의 좌표를 이용해 정의됩니다.

- 사인, 코사인, 탄젠트: 사인은 원의 반지름 분의 y 좌표를 의미하며, 코사인은 반지름 분의 x 좌표를 나타냅니다. 탄젠트는 x 좌표 분의 y 좌표로 정의됩니다. 이는 동경과 원의 만나는 지점에 따라 달라지며, 해당 좌표의 부호에 따라 삼각함수의 부호가 결정됩니다.

- 삼각함수의 부호: 흔히 말하는 '얼싸안코'를 통해 삼각함수의 부호를 쉽게 기억할 수 있습니다.
  - 1사분면에서는 사인, 코사인, 탄젠트 모두 양수입니다.
  - 2사분면에서는 사인만 양수이고,
  - 3사분면에서는 탄젠트만 양수입니다.
  - 4사분면에서는 코사인만 양수입니다.

- 삼각함수 사이의 관계: 단위원에서 삼각함수의 관계를 이해하는 것이 중요합니다.
  - 사인은 단위원에서의 y 좌표,
  - 코사인은(x 좌표,
  - 탄젠트는 동경의 기울기로 정의됩니다. 이와 함께 기본 공식인 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)와 \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)을 반드시 숙지해야 합니다.

결론

오늘 정리한 삼각함수 개념은 고등학교 수학의 중요한 부분입니다. 삼각함수는 학생들이 어렵다고 느끼는 단원이지만, 차근차근 익히고 반복적으로 연습하면 충분히 극복할 수 있습니다. 특히, 개정 교육과정에 맞추어 준비하는 과정에서 기본 개념을 정확히 이해하는 것이 중요합니다. 다음 포스팅에서는 삼각함수의 그래프를 다룰 예정이니, 지속적으로 관심을 가지고 학습해 보세요.

마지막으로 삼각함수는 어려운 것이 아니라 익숙하지 않은 것입니다. 반복적인 연습을 통해 자신감을 키우고, 더 나아가 수학에 대한 흥미를 키워 나가시길 바랍니다.

수학입시쌤이었습니다.